Парадокс Монти Холла — объяснение увеличения вероятности выбора

0
Посетите магазины партнеров:
KupiVIP Banggood INT

Всем нам известна ситуация, когда мы вместо трезвого расчета полагались на свою интуицию. Ведь необходимо признать, что далеко не всегда можно все просчитать прежде чем сделать выбор. И как бы не лукавили люд, которые привыкли делать свой выбор только после скрупулезного анализа, им ни один раз это приходилось делать по принципу «наверное так». Одной из вин подобного действия может быть банальное отсутствие необходимого поре для оценки ситуации.

При этом выбор ждет сложившаяся ситуация ровно сейчас, и не позволяет уйти от ответа или действия. Но еще более каверзные ситуации для нас, какие в буквальном смысле вызывает судорогу мозга, — это разрушение уверенности в правильности выбора или в его вероятном перевесе над иными вариантами, основанных на логических умозаключениях. На этом основаны все существующие парадоксы.

Парадокс в игре телешоу «Let’s Make a Deal»

Одинешенек из парадоксов, который вызывает жаркие споры среди охотников головоломок, называется парадоксом Монти Холла. Назван он в честь ведущего телешоу в США под наименованием «Let’s Make a Deal». На телешоу ведущий предлагает открыть одну из трех дверей, где в качестве приза есть автомобиль, в то время когда за другими двумя находятся по одной козе.

Парадокс в игре телешоу Let's Make a Deal

Участник игры мастерит свой выбор, но ведущий, зная где находится авто, обнаруживает при этом не ту дверь, которую указал игрок, а другую, в какой находится коза и предлагает сменить первоначальный выбор игрока. Для дальнейшего разбора мы принимаем собственно этот вариант поведения ведущего, хотя на самом деле он может периодически меняться. Иные варианты сценария развития мы просто перечислим ниже в статье.

В чем суть парадокса?

Еще раз по пунктам отметим условия и изменим объекты игры для разнообразия на свои.

Участник игры будьте в помещении с тремя банковскими ячейками. В одной из трех ячей золотой слиток золота, в других двух по одной монете номиналом в 1 копейку СССР.

Итак, участник перед выбором и обстоятельства игры следующие:

  1. Участник может выбрать лишь одну из трех ячей.
  2. Банкир знает изначально расположение слитка.
  3. Банкир вечно открывает ячейку с монетой, отличную от выбора игрока, и предлагает поменять выбор игроку.
  4. Игрок может в свою очередность поменять свой выбор или оставить первоначальный.

Что говорит интуиция?

Парадокс заключается в том, что для большинства людей, которые привыкли мыслить логически, шансы на выигрыш в случае смены своего первоначального выбора 50 на 50. Ведь, после того, как банкир обнаруживает другую ячейку с монеткой, отличную от первоначального выбора игрока, остаются 2 ячеи, в одной из которых слиток золота, а в другой монетка. Игрок выигрывает слиток, если принимает предложение банкира переменить ячейку при условии, если в первоначально выбранной игроком ячее не было слитка. И наоборот при данном условии — проигрывает, в случае если он откажется зачислить предложение.

Парадокс на примере банковских ячеек

Как подсказываем здравый смысл вероятность выбора слитка и выигрыша в таком случае 1/2. Но на самом деле ситуация другая! «Но как же так, здесь же все очевидно?» — спросите вы. Допустим вы выбрали ячею № 1. Интуитивно да, неважно какой был у вас выбор первоначально, в последнем итоге у вас по факту перед выбором монета и слиток. И если изначально у вас была вероятность получения приза 1/3 , то в последнем итоге при открытии одной ячейки банкиром вы получаете вероятность 1/2. Представлялось, вероятность увеличилась с 1/3 до 1/2. При внимательном разборе игры выясняется, что при смене решения вероятность увеличивается до 2/3 вместо интуитивных 1/2. Подавайте рассмотрим за счет чего это происходит.

Объяснение роста вероятности

В отличие от интуитивного степени, где наше сознание рассматривает событие после смены ячеи как нечто отдельное и забывает о первоначальном выборе, математика не разрывает эти два события, а навыворот сохраняет цепочку событий от начала до конца. Итак, как мы ранее и сообщали, шансы на выигрыш при попадании сходу на слиток у нас 1/3, а вероятность, что мы изберём ячейку с монетой 2/3 (поскольку у нас есть один слиток и две монеты).

Дальше распишем все возможные случаи развития событий при условии вышеупомянутого классического поведения ведущего, в нашем случае банкира.

  1. Выбираем изначально банковскую ячею со слитком — вероятность 1/3.
    • Если игрок изменяет свой выбор, принимая предложение банкира, — он проигрывает.
    • Если игрок не меняет выбор, не принимая предложение банкира, — он выигрывает.
  2. Выбираем с первого раза банковскую ячею с в монеткой — вероятность 2/3.
    • Если игрок поменяет свой выбор — выиграл.
    • Если игрок не меняет выбор — проиграл.

Итак, для того, чтобы игрок ушел из банка со слитком золота в кармане, он должен избрать изгначально проигрышную позицию с монеткой (вероятность 1/3), и после этого зачислить предложение банкира сменить ячейку.

Для того, чтобы постичь данный парадокс и вырваться из оков шаблона первоначального выбора и оставшихся ячей, давайте представим поведение игрока ровным счетом навыворот. Перед тем как банкир предложит ячейку для выбора, игрок мысленно достоверно определяется с тем, что он меняет свой выбор, и только после этого для него вытекает событие открытия лишней двери. Почему нет? Ведь отворённая дверь не дает для него большей информации в такой логической последовательности. На первом этапе поре игрок разделяет ячейки на две разные области: первая — район с одной ячейкой с его первоначальным выбором, вторая с двумя оставшимися ячеями. Далее игроку предстоит сделать выбор между двумя районами. Вероятность достать из ячейки золотой слиток из первой районы 1/3, из второй 2/3. Выбор следует за второй районом, в которой он может открыть две ячейки, первую откроет банкир, вторую он сам.

Есть еще более понятное объяснение парадокса Монти Холла. Для этого необходимо поменять формулировку задания. Банкир дает постигнуть, что в одной из трех банковских ячеек находится золотой слиток. В первом случае он предлагает отворить одну из трех ячеек, а во втором — одновременно две. Что выберет игрок? Ну разумеется сразу две, за счет повышения вероятности в два раза. И тот момент, когда банкир отворил ячейку с монеткой, это игроку на самом деле никак не помогает и не препятствует выбору, ведь банкир в любом случае покажет эту ячею с монеткой, поэтому игрок может попросту игнорировать это поступок. Со стороны игрока можно лишь только поблагодарить банкира за то, что он ему облегчил существование, и вместо двух ему пришлось открыть одну ячейку. Ну и решительно можно избавится от синдрома парадокса если поставить себя на пункт банкира, который изначально знает, что игрок в двух из трех случаев указывает на неверную дверь. Для банкира парадокс отсутствует как таковой, ведь он достоверно в такой инверсии событий уверен, что в случае смены событий игрок забирает золотой слиточек.

Объяснение роста вероятности

Парадокс Монти Холла открыто не позволяет быть в выигрыше консерваторам, которые железобетонно стоят на своем первоначальном выборе и теряют собственный шанс роста вероятности. Для консерваторов он так и останется 1/3. Для бдительных и рассудительных людей он вырастает до вышеуказанных 2/3.

Все приведенные утверждения живы лишь в соблюдении изначально оговоренных условий.

Что если повысить количество ячеек?

Что если увеличить количество ячеек? Положим вместо трех их будет 50. Золотой слиток будет возлежать лишь только в одной ячейке, а в остальных 49 — монеты. Соответственно в отличии от классического случая вероятность попадания с ходу в мишень 1/50 или 2% вместо 1/3, в то время как вероятность выбора ячеи с монетой составляет 98%. Далее ситуация развивается, как и в старом случае. Банкир предлагает открыть любую из 50 ячей, участник выбирает. Допустим, игрок открывает ячейку под порядковым номеров 49. Банкир в свою очередность, как и в классическом варианте, не спешит выполнять желание игрока и обнаруживает другие 48 ячеек с монетами и предлагает поменять собственный выбор на оставшуюся под номером 50.

Здесь важно понимать, что банкир обнаруживает именно 48 ячеек, а не 30, и оставляет при этом 2, вводя выбранную игроком. Именно такой выбор позволяет парадоксу шагать в разрез с интуицией. Как и в случае с классическим вариантом, открытие банкиром 48 ячей оставляет только один единственный альтернативный вариант для выбора. Случай варианта меньшего открытия ячей не позволяет поставить в один ряд задачу с классикой и ощутить парадокс.

Но раз уж мы и коснулись такого варианта, то подавайте предположим, что банкир оставляет не одну, кроме выбранной игроком, а несколько ячей. Представлено, как и прежде, 50 ячеек. Банкир после выбора игрока обнаруживает только одну ячейку, оставляя при этом закрытыми 48 ячей, включая выбранную игроком. Вероятность выбора слитка с первого раза 1/50. В сумме вероятность нахождения слитка в прочих ячейках 49/50, которая в свою очередь раскидывается не на 49, а на 48 ячей. Не сложно посчитать, что вероятность нахождения слитка в таком варианте равновелика (49/50)/48=49/2900 . Вероятность пусть не на много, но все равно выше, чем 1/50 примерно на 1%.

Таблица поведения Монти Холла

Как мы и упоминали в самом начине ведущий Монти Холл в классическом сценарии игры с дверьми, козами и призовым авто может менять условия игры и вместе с нем и вероятность выигрыша.

Таблица поведения Монти Холла
Таблица поведения Монти Холла.

Математика парадокса

Могут ли математические формулы доказать увеличение вероятности при смене выбора?
Представим цепочку событий в облике множества, разделенного на две части, первую часть примем за X – это выбор на первом этапе ячеи сейфа игроком; и второе множество Y — оставшиеся две остальных ячеи. Вероятность (В) выигрыша для ячеек 2 и 3 можно выразить с помощью формул.

В(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
В(3) = 1/2 * 2/3= 1/3

Где 1/2 это вероятность, с какой банкир откроет ячейку 2 и 3 при условии, если игрок изначально избрал ячейку без слитка.
Далее условная вероятность 1/2 при открытии банкиром ячеи с монетой изменяется на 1 и 0. Тогда формулы приобретают вытекающий вид:

В(2) = 0 * 2/3 = 0
B(3) = 1 * 2/3 = 1

Здесь мы наглядно видим, что вероятность выбора слитка в ячее 3 — 2/3, а это чуть более 60 процентов.
Программист самого начального степени может без труда проверить данный парадокс, написав программу, какая считает вероятность при смене выбора или наоборот и сверить итоги.

Освещение парадокс в фильме 21 (Двадцать одно)

Наглядное разъяснение парадокса Монти Пустотела приводится в фильме «21» (Двадцать одно), режиссера Роберта Лукетича. Профессор Микки Роса на лекции приводит образец из шоу Let’s Make a Deal и задает вопрос о распределении вероятности у студента Бена Кэмпбелла (артист и певец Джеймс Энтони), который дает правильный расклад и тем самым изумляет преподавателя.

[embedded content]

Самостоятельное изучение парадокса

Для людей, какие хотят проверить результат самостоятельно на деле, но не имеющих математического базиса, мы предлагаем самостоятельно смоделировать игру, в какой вы будете ведущим, а кто-то будет игроком. Можете задействовать в этой игре детей, какие будут выбирать конфеты или фантики от них в заранее приготовленных картонных коробочках. При любом выборе обязательно фиксируйте результат для дальнейшего подсчета.

Посетите магазины партнеров:

Оставить комментарий

Ваш электронный адрес не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.